Global product manager for electrical condition management
IAEN hos ABB
Oslo, Norway.
Thesis presented for the degree Dr. Philos. at the University of Oslo
September, 1993
Full thesis: 318 pages, 3.5 MB
I One-dimensional maps 9
Chapter 1:
Unimodal map 11
1.1 Bifurcations in the unimodal map : : : : : : 11
1.1.1 Fixed point and period doubling : : : 14
1.1.2 Unimodal map with complete grammar : : : : : : : : : : : : 20
1.1.3 The symbolic interval and the kneading sequence : : : : : : 21
1.1.4 Bifurcations and symbolic parameter space : : : : : : : : : : 22
1.1.5 Band merging bifurcations : : : : : : 23
1.1.6 Resonances : : : : : : : : : : : : : : 25
1.1.7 Resonances in the tent map : : : : : 29
1.2 Construction of a finite automaton : : : : : 30
1.3 Topological entropy : : : : : : : : : : : : : : 36
Chapter 2:
The n-modal map 41
2.1 Bimodal maps : : : : : : : : : : : : : : : : : 44
2.1.1 Markov graphs : : : : : : : : : : : : 49
2.2 Trimodal maps : : : : : : : : : : : : : : : : 51
2.2.1 Fixed points : : : : : : : : : : : : : : 54
2.2.2 Period 2 orbits : : : : : : : : : : : : 55
2.2.3 Period 3 orbits : : : : : : : : : : : : 59
2.3 Higher n-modal maps : : : : : : : : : : : : : 63
2.4 The \Gamma + \Gamma bimodal map : : : : : : : : : : : 65
II Two dimensional maps 69
Chapter 3:
Two dimensional folding maps 71
3.1 The Smale horseshoe : : : : : : : : : : : : : 72
3.1.1 Smale horseshoe with reflection : : : 76
3.2 Variations of the Smale horseshoe : : : : : : 76
3.2.1 Once-folding maps : : : : : : : : : : 76
3.2.2 Twice-folding maps : : : : : : : : : : 80
Chapter 4:
Pruned horseshoes 87
4.1 Bifurcations : : : : : : : : : : : : : : : : : : 89
4.1.1 Stable and unstable manifolds at bifurcation points : : : : : 89
4.1.2 One-dimensional approximation : : : 92
4.2 Unimodal approximation : : : : : : : : : : : 94
4.3 Bimodal approximation : : : : : : : : : : : : 94
4.3.1 Kneading values of short orbits : : : 94
4.3.2 Period 5 orbits : : : : : : : : : : : : 102
4.3.3 Period 6 orbits : : : : : : : : : : : : 108
4.3.4 Longer periodic orbits : : : : : : : : 108
4.3.5 Generic bimodal swallowtails : : : : 111
4.3.6 Symbols of period doublings of swallowtails : : : : : : : : : 114
4.3.7 Bimodal MSS ordering : : : : : : : : 114
4.3.8 The n-th return plot : : : : : : : : : 116
4.3.9 The n-th map of the Lorenz model : 119
4.4 Four unimodal maps approximation : : : : : 122
4.4.1 Period 6 swallowtails : : : : : : : : : 123
4.4.2 Period 4 orbit cusp bifurcation : : : : 128
4.4.3 Bifurcation of period 8 orbits : : : : 128
4.5 Biham-Wenzel method : : : : : : : : : : : : 138
4.6 Twice-folding maps : : : : : : : : : : : : : : 142
Chapter 5:
Pruning front for the H'enon map 147
5.1 Symbol plane : : : : : : : : : : : : : : : : : 147
5.2 Primary turning points : : : : : : : : : : : : 148
5.2.1 Bifurcations of turning points : : : : 150
5.3 Pruning front : : : : : : : : : : : : : : : : : 157
5.3.1 Period 5 : : : : : : : : : : : : : : : : 158
5.3.2 4 modal approximation : : : : : : : : 162
5.3.3 Pruning front for a = 1:0, b = 0:54 : 163
5.4 Pruning front for the jbj = 1 limit : : : : : : 164
5.5 Pruning fronts for the twice-folding map : : 166
5.6 Lozi map : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 167
III Billiards 171
Chapter 6:
Symbolic dynamics of billiards 175
6.1 3-disk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 176
6.2 4-disk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181
6.3 N-disk systems : : : : : : : : : : : : : : : : 182
6.3.1 Symbolic dynamics for N disks on a circle : : : : : : : : : : 182
6.3.2 N disks with a center disk : : : : : : 183
6.4 Wedge billiard, or Two Bouncing Balls : : : 185
6.4.1 Wedge billiard : : : : : : : : : : : : : 185
6.4.2 Two Bouncing Balls : : : : : : : : : 186
6.4.3 Numerical simulations : : : : : : : : 189
6.4.4 Symbolic dynamics : : : : : : : : : : 191
6.5 Stadium Billiard : : : : : : : : : : : : : : : 191
6.5.1 Phase space : : : : : : : : : : : : : : 193
6.5.2 Symbolic dynamics : : : : : : : : : : 193
6.5.3 Symbolic dynamics in the limit a ! 1 : : : : : : : : : : : : 202
Chapter 7:
Pruning in billiards 211
7.1 Singular points : : : : : : : : : : : : : : : : 211
7.2 3-disk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 214
7.2.1 Pruning front : : : : : : : : : : : : : 215
7.2.2 Overlapping disks : : : : : : : : : : : 220
7.2.3 Approximating the pruning front : : 221
7.3 4-disk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 229
7.4 Hyperbola billiard : : : : : : : : : : : : : : : 231
7.5 6+1 Disk system : : : : : : : : : : : : : : : 234
7.6 Stadium billiard : : : : : : : : : : : : : : : : 236
7.7 Wedge billiard : : : : : : : : : : : : : : : : : 238
Chapter 8:
Symbolic dynamics in special limits 247
8.1 Wedge billiard : : : : : : : : : : : : : : : : : 249
8.2 4-disk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 253
8.3 3-disk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 255
8.4 Mixed chaos-order systems in the Farey limit 259
Chapter 9:
Bifurcation in billiards 263
9.1 Tent map revisited : : : : : : : : : : : : : : 263
9.2 Dispersing billiards : : : : : : : : : : : : : : 265
9.2.1 The bifurcation family : : : : : : : : 266
9.2.2 The parameter space : : : : : : : : : 269
9.3 Stadium billiard : : : : : : : : : : : : : : : : 270
9.4 Corner bifurcations : : : : : : : : : : : : : : 271
IV Hamiltonian systems 273
Chapter 10:
Smooth Hamiltonian systems 275
10.1 Hamiltonian H'enon maps : : : : : : : : : : : 276
10.2 The (x2y2)1=a potential : : : : : : : : : : : : 277
10.3 Parabola shaped potentials : : : : : : : : : : 282
10.3.1 NELSON : : : : : : : : : : : : : : : 282
10.3.2 Sto/rmers problem : : : : : : : : : : : 288
V Quantum Chaos and Zeta Functions 293
Chapter 11:
Quantum Chaos 297
11.1 Semi-classical methods : : : : : : : : : : : : 297
11.2 Markov diagrams : : : : : : : : : : : : : : : 300
Chapter 12: Conclusions and new challenges 303
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